有限の井戸型ポテンシャルやトンネル効果の説明の際に、波動関数には進行方向があるということを利用するかと思います。具体的には、波動関数\(Ce^{ikx}\)は、\(x\)が正の方向に進む波を表します。
本記事では、波動関数の進行方向について解説します。
定常状態のシュレーディンガー方程式の一般解
定常状態のシュレーディンガー方程式とは、次のような式のことでした。ここでは簡単のために1次元にしています。
\[
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)
\right)
\psi(x) = E\psi(x)
\]
\[
\frac{d^2}{dx^2}\psi = \frac{2m(E-V)}{\hbar^2} \psi
\]
ここで、\(k:=\sqrt{2m(E-V)/\hbar^2}\)とすると、
\[
\frac{d^2}{dx^2}\psi = k^2 \psi
\]
この微分方程式として、次の二つの特殊が考えられます。
\[
\psi_1=e^{ikx} \tag1
\]
\[
\psi_2=e^{-ikx} \tag2
\]
そして、シュレーディンガー方程式は二階同次線形微分方程式なので、上記の2つの解を線形結合した次の式が一般解になります。
さて、(1)式や(2)式が、それぞれ正の方向に進む波と負の方向に進む波を表すことを証明します。
(1)式に運動量演算子を左から作用させると、
\[\begin{align}
\hat P \psi_1=\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} e^{ikx} &=\hbar ke^{ikx} \\
&=\hbar k \psi_1
\end{align}\]
よって、波動関数\(\psi_1\)に対応する運動量\(p_1\)は次のようになります。
\[
p_1=\hbar k
\]
つまり、運動量演算子を左から作用させて、その固有値が\(\hbar k\)（正の値）なので、\(\psi_1\)は正の向きに進む波を表していて、その時の運動量は\(\hbar k\)ということがわかります。
同様に、
\[\begin{align}
\hat P \psi_2=\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} e^{-ikx} &=-\hbar ke^{-ikx} \\
&=-\hbar k \psi_2
\end{align}\]
すなわち、\(\psi_2\)は運動量\(-\hbar k\)で負の方向に進む波を記述しています。
以上をまとめます。
\(\psi=e^{ikx}\)は正の方向に進む波を表す。
\(\psi=e^{-ikx}\)は負の方向に進む波を表す。
したがって、次に示す波動関数の一般解
\[
\psi = C_1e^{ikx}+C_2e^{-ikx}
\]
は、正の方向と負の方向に進む波を両方表しているということがわかります。
\(\boldsymbol k\)のベクトル表記
実は、\(\boldsymbol k\)は波数ベクトルと呼ばれるベクトル量です。波数ベクトルの絶対値は、波長\(\lambda\)を用いて次のようになります。
\[
k=\frac{2\pi}{\lambda}
\]
また、位置ベクトル\(r\)を用いて、定常状態の3次元シュレーディンガー方程式の特殊解2つは次のようになります。
\[
\psi_1=e^{i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r} \tag3
\]
\[
\psi_2=e^{-i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r} \tag4
\]
(3)と(4)に運動量演算子を左から作用させると、それぞれの固有値\( \boldsymbol p_1, \boldsymbol p_2 \)は、
\[
\boldsymbol p_1 = \hbar \boldsymbol k
\]
\[
\boldsymbol p_2 = -\hbar \boldsymbol k
\]