平均値の定理

(i)\(f(c)\)が極大値をとるとき、

極大値の定義より、

\[
\begin{align}
f(c) \geq f(c+h) &\Longleftrightarrow f(c+h) – f(c) \leq 0 \\

&\Longleftrightarrow
\begin{cases}
\displaystyle \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \leq 0 & (h>0)\\
\displaystyle \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \geq 0 & (h<0)
\end{cases} \\

&\Longrightarrow
\begin{cases}
\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{f(c+h) – f(c)}{h} = f'(c) \leq 0 & (h>0)\\
\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{f(c+h) – f(c)}{h} = f'(c) \geq 0 & (h<0)
\end{cases} \\
&\Longleftrightarrow f'(c)=0
\end{align}
\]

まとめると、

\[
f(c) \geq f(c+h)\Longrightarrow f'(c)=0
\]

(ii)\(f(c)\)が極小値をとるとき、

極小値の定義より、

\[
\begin{align}
f(c) \leq f(c+h) &\Longleftrightarrow f(c+h) – f(c) \geq 0 \\

&\Longleftrightarrow
\begin{cases}
\displaystyle \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \geq 0 & (h>0)\\
\displaystyle \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \leq 0 & (h<0)
\end{cases} \\

&\Longrightarrow
\begin{cases}
\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{f(c+h) – f(c)}{h} = f'(c) \geq 0 & (h>0)\\
\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{f(c+h) – f(c)}{h} = f'(c) \leq 0 & (h<0)
\end{cases} \\
&\Longleftrightarrow f'(c)=0
\end{align}
\]

まとめると、

\[
f(c) \leq f(c+h)\Longrightarrow f'(c)=0
\]

以上より、題意は示された。

(i)\(f\)が定数関数であるとき、明らかに\(\f'(c)=0)である。

(ii)ある数\(x(a<x<b)\)について、\(f(x) < f(a)\)であるとき、
定理1: 最大値・最小値の定理より、\(f\)は閉区間\([a,b]\)のある数\(c\)で最大値をとる。また、\(f(x) > f(a) = f(b)\)だから、\(f(a)\)と\(f(b)\)は最大値ではない。すなわち、\(a<c<b\)である。これより、\(f(c)\)は極大値でもある。したがって、定理2より、\(f'(c)=0\)

(iii)ある数\(x(a<x<b)\)について、\(f(x) > f(a)\)であるとき、
定理1: 最大値・最小値の定理より、\(f\)は閉区間\([a,b]\)のある数\(c\)で最小値をとる。また、\(f(x) < f(a) = f(b)\)だから、\(f(a)\)と\(f(b)\)は最小値ではない。すなわち、\(a<c<b\)である。これより、\(f(c)\)は極小値でもある。したがって、定理2より、\(f'(c)=0\)

以上より、ロルの定理が示された。

図2からわかるように、\(f(x)\)から\((a, f(a))\)と\((b, f(b))\)を通る直線の式を引けば、ロルの定理が使える形になります。

関数\(h(x)\)を次のように定義する。

\[
h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
\]

このとき、\(h(x)\)は連続な関数\(f\)と\(x\)の四則演算からなるため、\(h(x)\)は閉区間\([a, b]\)で連続、開区間\((a, b)\)で微分可能である。

また、

\[
h(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0
\]

\[
h(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0
\]

したがって、定理3: ロルの定理より、

\[
h'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Longleftrightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]

を満たすある数\(c(a<c<b)\)が存在する。

\(x_1, x_2 (a<x_1<x_2<b)\)を、開区間\((a, b)\)内にある任意の数とする。\(f\)は\((a, b)\)で微分可能であるため、\((x_1, x_2)\)でも微分可能である。また、別の記事で示した定理より、\((x_1, x_2)\)で微分可能ならば\((x_1, x_2)\)で連続である。

よって、平均値の定理より、ある数\(c (x_1<c<x_2)\)が存在し、

\[
f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0 \Longleftrightarrow f(x_2)=f(x_1)
\]

\[
(f(x)-g(x))’=f'(x)-g'(x)=0
\]

よって、定理5より、

\[
f(x)-g(x)=C \Longrightarrow f(x)=g(x)+C
\]