重要な微分公式

\[
c’=\lim_{h \to 0} \frac{c-c}{h} = 0
\]

\[
\begin{align}
(cf(x))’ &= \lim_{h \to 0} \frac{cf(x+h) -cf(x)}{h} \\
&= c\ \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \\
&= cf'(x)
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
(f(x) \pm g(x))’ &= \lim_{h \to 0} \frac{(f'(x+h) \pm g'(x+h)) -(f'(x) \pm g'(x))}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \pm \frac{g(x+h) -g(x)}{h} \right) \\
&= f'(x) \pm g'(x)
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
(f(x)g(x))’ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) -f(x)g(x+h) -f(x)g(x) + f(x)g(x+h)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)(f(x+h) -f(x)) + f(x)(g(x+h) -g(x))}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} g(x+h) \cdot \frac{f(x+h) -f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} f(x) \cdot \frac{g(x+h) -g(x)}{h} \\
&= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ &= \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle \frac{f(x+h)}{g(x+h)} -\frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x+h)-f(x))-f(x)(g(x+h)-g(x))}{hg(x)g(x+h)} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{f(x+h) -f(x)}{h} -\lim_{h \to 0} \frac{f(x)}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{g(x+h) -g(x)}{h} \\
&= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\
\end{align}
\]

まず、次の補題を証明する。

(i) 関数\(f\)が\(x_0\)で微分可能であるとき、次のような関数\(\alpha (x)\)を定義する。

\[
\alpha (x) =
\begin{cases}
\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} && (x \neq x_0)\\
f'(x_0) && (x=x_0)
\end{cases}
\]

このとき、\(\alpha\)は\(f(x) = f(x_0) +\alpha (x) (x-x_0)\)を満たす。

また、

\[
\lim_{x \to x_0} \alpha (x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x) = \alpha(x_0)
\]

したがって、\(\alpha\)は連続である。

よって、関数\(f\)が\(x_0\)で微分可能ならば、\(x_0\)で連続なある関数\(\alpha(x)\)が存在し、\(\alpha\)は\(f(x) = f(x_0) +\alpha (x) (x-x_0)\)を満たす。

(ii)\(x_0\)で連続なある関数\(\alpha(x)\)が存在し、\(\alpha\)は\(f(x) = f(x_0) +\alpha (x) (x-x_0)\)を満たすとき、

\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \alpha(x) = \alpha(x_0)
\]

したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)の極限値が存在するため、\(f\)は\(x_0\)で微分可能である。

以上より、補題は示された。

また、ここで示したように\(\alpha(x_0)=f'(x_0)\)であることを次の証明で使います。

さて、合成関数の微分公式を証明します。

関数\(g\)は\(x_0\)で微分可能で、\(u = g(x), u_0=g(x_0)\)として、合成関数\(f(u)\)が存在し、関数\(f\)は\(u\)で微分可能なら、補題より、

\[
g(x) = g(x_0) +\alpha (x) (x-x_0)
\]

\[
f(u) = f(u_0) +\beta (u) (u-u_0)
\]

を満たす連続関数\(\alpha(x), \beta(u)\)が存在する。このとき、

\[
\begin{align}
f(g(x))
&= f(g(x_0)) +\beta (g(x)) (g(x) -g(x_0)) \\
&= f(g(x_0)) +\beta (g(x)) \alpha (x) (x-x_0) \\
\end{align}
\]

いま、\(\beta\)は\(g(x_0)\)で連続、\(g\)は\(x_0\)で微分可能だったから、\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)\) （微分可能ならば連続）であるため、\(\beta\)は\(x_0\)で連続である、すなわち\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \beta (u) = \beta(u_0)\)（証明はこちら）。したがって、\(x_0\)で連続な関数\(\alpha, \beta \)の積も連続である（証明はこちら）。

よって、補題より\(f(g(x))\)は\(x_0\)で微分可能であり、その値は

\[
\begin{align}
\left. \frac{d}{dx} f(g(x)) \right|_{x=x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0} &= \lim_{x \to x_0} \beta(u)\alpha(x) \\
&= \beta(u_0)\alpha(x_0) \\
&= f'(u_0) g'(x_0) = f'(g(x_0)) g'(x_0)
\end{align}
\]

\(x\)を\(x_0\)と置き換えて、書き方を変えると、

\[
(f(g(x)))’ = f'(g(x))g'(x)
\]

\[
\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}
\]

\(f(a)=b\)とする。

\[
\begin{align}
\lim_{y \to b} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b} &= \lim_{y \to b} \frac{x-a}{f(x)-f(a)}\\
&= \lim_{y \to b} \frac{1}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a} }
\end{align}
\]

ここで、\(y \to b\)で\(x \to a\)なので、\(\displaystyle \lim_{y \to b}\)を\(\displaystyle \lim_{x \to a}\)に変えてしまってもいいのではないか、と考えられます。

実際、そのようにしてもよく、これについては別の記事の定理1で紹介していますので、是非ご覧ください。

よって、

\[
\lim_{y \to b} \frac{1}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a} } = \frac{1}{f'(a)}
\]

以上より、

\[
\left. \frac{df^{-1}(y)}{dy} \right |_{y=b} = \frac{1}{\displaystyle \left. \frac{df(x)}{dx} \right|_{x=a}}
\]

\[
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dx}{dy}}
\]

\(n\)が正整数\((n=1, 2, \cdots)\)の場合、

\[
\begin{align}
\frac{d}{dx}x^n &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{x^n \left\{ \left( 1+ \displaystyle\frac{h}{x} \right)^n – 1 \right\}}{h} \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{x^{n-1} \left\{ \left( 1+ \displaystyle\frac{h}{x} \right)^n – 1 \right\}}{ \left( 1+ \displaystyle\frac{h}{x} \right) -1} \tag{等比数列の和} \\
& = \lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^n x^{n-1} \left( 1+ \displaystyle\frac{h}{x} \right)^{k-1} \\
& = \sum_{k=1}^n x^{n-1} \\
& = nx^{n-1}
\end{align}
\]

\((x+h)^n\)を展開して解く方法が一般的かと思いますが、ここでは等比数列の和の公式を使って証明してみました。

また、\( \left( x^0 \right)’ =0\)より、上式は\(n=0\)のときも成立する。さらに、(5)式より、\(m=1,2,\cdots \)として、

\[
\begin{align}
\frac{d}{dx}x^{-m} &= \frac{d}{dx} \frac{1}{x^m} \\
&= \frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} \\
&= (-m)x^{(-m)-1}
\end{align}
\]

したがって、\(n\)は整数でも成り立つ。加えて、整数\(p, q\)を用いて、(6)式より、

\[
\begin{align}
\frac{d}{dx}x^{\frac{q}{p}} &= \frac{d}{dx} (x^p)^{\frac{1}{q}} \\
& = \frac{1}{q} (x^p)^{\frac{1}{q}-1} \cdot px^{p-1} \\
& = \frac{q}{p}x^{\frac{q}{p}-1}
\end{align}
\]

よって、\(n\)が有理数でも成り立つ。

\(n\)が無理数の場合は、\(x^n=e^{n \log x}\)と定義するなら（詳しくはこちら）、(6)式と後述する(12)式を用いて、

\[
\begin{align}
\frac{d}{dx}x^n &= \frac{d}{dx} e^{n \log x} \\
& = e^{n \log x} \cdot \frac{n}{x}\\
& = x^n \cdot \frac{n}{x}\\
& = nx^{n-1} \\
\end{align}
\]

三角関数の微分公式を証明するとき、導関数の定義から導こうとすると、\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\)の極限値が必要になります。

この極限を証明するとき、通常は図を描いて、面積または曲線の長さの不等式を視覚的に立て、はさみうちの原理から証明しますが、もう少し数学的にやりたいものです。

半円\(x=\sqrt{1-y^2}\)について、原点をOとし、点A\((1, 0)\)から点P\((\sqrt{1-p^2}, p)\)に沿った曲線の長さを求める。ただし、\(p>0\)である。いま、線分OAと線分OPのなす角を弧度法で一般角\(\theta\)とすると、\(p=\sin \theta, \sqrt{1-p^2}=\cos \theta \)である。

また、弧度の定義より、曲線の長さは\(\theta\)に等しい。

曲線の長さの定義より、

\[
\theta = \int_0^p \sqrt{1+\left( \frac{dx}{dy} \right)^2} dy = \int_0^p\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy
\]

微分積分学の基本定理より、

\[
\frac{d\theta}{dp} = \frac{d}{dp} \int_0^p \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy =\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}
\]

ここで、\(\displaystyle\theta=\int_0^p\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy\)は\(p\)について単調増加関数であるから、逆関数が存在し（詳しくはこちらで紹介した逆関数の連続性の証明をご覧ください）、

\[
\frac{dp}{d\theta} = \sqrt{1-p^2} = \cos\theta
\]

ところで、\(p= \sin \theta\)だったから、

\[
\frac{d}{d\theta}\sin \theta = \cos \theta
\]

また、

\[
\frac{d}{d\theta} \cos\theta =\frac{d}{d\theta} \sqrt{1-p^2} = -\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}\frac{dp}{d\theta} = -\sin \theta
\]

以上、正弦と余弦の導関数を導きました。

なお、正弦の導関数から、

\[
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin (0+x) -\sin0}{x} = \cos 0 = 1
\]

微分積分学の基本定理より、

\[
\begin{align}
\displaystyle \ln x = \frac{d}{dx}\int_1^x \frac{1}{t}dt = \frac{1}{x} && (x>0)
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
\ln (-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1)= \frac {1}{x} && (x<0)
\end{align}
\]

これらをまとめて

\[\ln |x| = \frac{1}{x}\]

\(y=e^x\)とすると、\(y\)には逆関数が存在し、\(x = \ln y\)。

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = y = e^x
\]

\[
\begin{align}
(a^x)’ &= {\left( e^{x \ln a} \right)}’ \\
&= e^{x \ln a} \cdot \ln a \\
&= a^x \ln a
\end{align}
\]

\[
\begin{align}
(\log_a |x|)’ &= \frac{\ln |x|}{\ln a} \\
&= \frac{1}{x \ln a}
\end{align}
\]