積分の平均値の定理
微分積分学の基本定理には様々な証明方法がありますが、ここでは積分の平均値の定理を利用した方法を紹介します。
\(f\)は閉区間\([a, b]\)で連続な関数とすると、
\[
f(c)=\frac{\displaystyle \int_a^b f(x)dx}{b-a}
\]
を満たす\(c (a<c<b)\)が存在する。
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\(f\)は閉区間\([a,b]\)で連続だから、最大値・最小値の定理より、閉区間\([a, b]\)内のある数\(x_1, x_2(x_1\neq x_2)\)について、\(f\)は\(x_1\)で最小値\(m\)、\(x_2\)で最大値\(M\)をとる。すなわち、
\[
\begin{align}
m \leq f(x) \leq M && (a\leq x \leq b) \tag{1.1}
\end{align}
\]
各辺を\(a\)から\(b\)まで積分すると、
\[
\begin{align}
&m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a) \\
\Longleftrightarrow & m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx \leq M \tag{1.2}
\end{align}
\]
(i)\(f\)が定数関数でないとき、\((1.1), (1.2)\)および中間値の定理より、
\[
f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx
\]
となる\(c\)が\(x_1\)と\(x_2\)の間に存在する。
(ii)\(f\)が定数関数\(f=k\)のとき、開区間\((a, b)\)内のすべての数\(c\)で、
\[
f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = \frac{k(b-a)}{b-a}=k
\]
微分積分学の基本定理
微分と積分は互いに逆演算
積分の平均値の定理において、\(g(x)=\displaystyle \int_a^x f(x)dx\)とおくと、\(g(a)=0\)なので、次のように書き換えることができます。
\[
\begin{align}
f(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a} && (a<c<b) \tag 1
\end{align}
\]
この式の形、どことなく(Lagrangeの)平均値の定理に似ていませんか？
(Lagrangeの)平均値の定理はこのような形でした。
\[
\begin{align}
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} && (a<c<b) \tag 2
\end{align}
\]
(2)式の左辺は\(f’\)から、右辺は\(f\)から構成されています。
となると、(1)もそのようになっているのでは？と考えたくなります。すなわち、
\[
g'(x)=f(x) \Longleftrightarrow
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)
\]
が成り立っているのでは？と仮説を立てたくなります。
これが正しいことが示されるのが、次の定理です。
\(f\)は閉区間\([a, b]\)で連続な関数とする。
\[
\begin{align}
g(x)=\int_a^x f(t) dt && (a \leq x \leq b)
\end{align}
\]
で定義される関数\(g\)は、閉区間\([a, b]\)で連続かつ開区間\((a, b)\)で微分可能であり、
\[
g'(x)=f(x) \Longleftrightarrow
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)
\]
である。
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\(g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)dt\)とする。\(f\)は連続だから、積分の平均値の定理より、
(i)\(h>0\)とすると、ある数\(c (a \leq x < c < x+h \leq b)\)が存在して、
\[
f(c)=\frac{\displaystyle\int_a^{x+h} f(t)dt \ – \int_a^x f(t)dt }{(x+h)-x} = \frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\]
\[
\lim_{h \to 0^+} f(c) = f(x) =\lim_{h \to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\]
(ii)\(h<0\)とすると、ある数\(c (a \leq x+h < c < x \leq b)\)が存在して、
\[
f(c)=\frac{\displaystyle\int_a^{x} f(t)dt \ – \int_a^{x+h} f(t)dt }{x-(x+h)} = \frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\]
\[
\lim_{h \to 0^-} f(c) = f(x) =\lim_{h \to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\]
(i), (ii)より、\(g\)は開区間\((a, b)\)で微分可能で、
\[f(x)=g'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt\]
また、\(x=a, b\)ではそれぞれ左側微分可能、右側微分可能であるため、別の記事で示した定理より、\(g\)は閉区間\([a, b]\)で連続である。
この定理が面白いのは、積分した関数を微分すると、元に戻るということがわかることです。つまり、微分と積分は互いに逆の操作だったのです。
接線の傾きから生まれた微分と、面積を求めるために生まれた積分。一見すると全くつながりのなさそうな両者が、実は深い関係にあったというのがわかる、非常に興味深い定理です。
定積分が簡単に計算できる画期的な定理
直線運動している物体を考えます。時間\(t\)において物体がいる位置を\(x(t)\)とすると、物体の速さ\(v(t)\)は
\[
v(t)=x'(t)
\]
になりそうだということを別の記事で紹介しました（実際、速さはこのようにして定義されているのですが、そのことは今回は忘れてください）。
さて、\(t=t_1\)から\(t=t_2\)にかけて進んだ距離は、\(t=t_2\)の時にいた位置\(x(t_2)\)から\(t=t_1\)の時にいた位置\(x(t_1)\)の差\(x(t_2)-x(t_1)\)となるのはすぐにわかるかと思いますが、積分を知っていれば、別の考え方もできます。
一定の速さ\(v(t)\)で\(\Delta t\)の時間だけ進むと、進んだ距離は\(v(t)\Delta t\)となりますが、これを\(t_1\)から\(t_2\)までの時間で足し合わせれば、\(t_1\)から\(t_2\)にかけて進んだ距離に等しくなるはずです。
そして、この操作は積分の定義そのものです。
したがって、次の式が成り立ちます。
\[
\int_{t_1}^{t_2} v(t)dt=x(t_2)-x(t_1)
\]
すなわち、次の定理が成り立つと考えられそうです。
\(f\)は閉区間\([a, b]\)で連続な関数、\(F\)は\(f\)の任意の原始関数とするとき、
\[
\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)
\]
である。
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\(g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)dt\)とおく。\(F'(x)=f(x)\)とすると、定理2: 微分積分学の基本定理1より、\(g'(x)=f(x)\)だから、別の記事で紹介した系6より、\(c\)を定数として、
\[
\begin{align}
F(x)=g(x)+c
\end{align}
\]
したがって、
\[
\begin{align}
F(b)-F(a) &= (g(b)+c)-(g(a)+c)\\
&=g(b)-g(a)\\
&=g(b)\\
&=\int_a^b f(x)dx
\end{align}
\]
今でこそ面積は定積分の値として定義されていますが、元来、定積分は複雑な図形の面積を求めるために生まれました。
当時は、今の定義にもその名残があるように、図形を細い四角形に分割してそれらを足し合わせるという方法で面積を計算していたわけですが、どんなに四角形を細くしても誤差は生まれます。
そのような中、連続な（実は微分可能で十分なのだが）関数とx, y軸に囲まれた図形の面積を簡単に計算する方法が見いだされたのです。
いうまでもなく、微分積分学の基本定理は微分積分学のなかで最も重要な定理です。
これは余談ですが、速度を時間で定積分した値が、位置の関数に始まりの時間と終わりの時間を入れた値の差が等しいということから、定理3が成り立つのではないかと仮説を立てましたが、本来は論理が逆なのでしょう。
定理3が証明され、かつ私が勝手に定義した速度が、積分を通して位置と関係性があり、そしてこの式は直感的に納得がいくので、私が定義した速度は理にかなったものなのだろうとなるわけです。